Родился в семье грузинского художника Р. И. Стуруа.
С 1956 по 1961 год учился на режиссёрском факультете Тбилисского театрального института.
С 1962 года — в Тбилисском театре им. Шота Руставели, ученик Михаила Туманишвили. Первый настоящий успех молодому режиссёру принёс поставленный в 1965 году спектакль «Сейлемский процесс» по пьесе А. Миллера «Суровое испытание»
С 1979 года — главный режиссёр Театра им. Ш. Руставели, с 1980 года — его художественный руководитель.
В этом театре Стуруа, вместе со своими постоянными соавторами — художником Георгием Алекси-Месхишвили и композитором Гией Канчели, осуществил ряд выдающихся постановок, получивших признание далеко за пределами Грузии, в их числе «Кавказский меловой круг» Б. Брехта и «Ричард III» у Шекспира.
Являлся членом редакционного совета журнала «Детектив и политика».